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2020年高考加油,每日一题32:数列求和有关的综合题型

时间:2019-08-26

  原创吴国平数学教育2天前我要分享

  典型例题分析1:

  已知等差数列{an}的前n项和为Sn,an≠0,an?an+1=4Sn1

  (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

  (Ⅱ)设bn=1/anan+1,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:Tn<1/2.

  解:(Ⅰ)an?an+1=4Sn1,

  将n换为n1,可得an1?an=4Sn11,

  两式相减可得,an(an+1an1)=4an,

  由an≠0,可得an+1an1=4,

  {an}为等差数列,可得(an+1an)+(anan1)=4,

  即有公差d=anan1=2,

  当n=1时,a1?a2=4S11,即为a1(a1+2)=4a11,

  解得a1=1,可得数列{an}的通项公式为an=a1+(n1)d

  =1+2(n1)=2n1;

  

  考点分析:

  数列的求和;数列递推式.

  题干分析:

  (Ⅰ)将n换为n1,两式相减可得an+1an1=4,由{an}为等差数列,可得公差d=anan1=2,再求首项可得1,运用等差数列的通项公式即可得到所求通项;

  (Ⅱ)求得bn=1/(2n-1)(2n+1)={1/(2n-1)-1/(2n+1)}/2,运用数列的求和方法:裂项相消求和,结合不等式的性质,即可得证.

  

  ?典型例题分析2:

  已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+n2(n∈N*)

  (Ⅰ)证明:数列{an2n3}是等比数列;

  (Ⅱ)设bn=1/(an+3·2n),求数列{bnbn+1}的前n项和Tn.

  

  考点分析:

  数列的求和;等比关系的确定.

  题干分析:

  (Ⅰ)通过Sn=2an+n2与Sn1=2an1+(n1)2(n≥2)作差可知an=2an12n+1,进而化简(an-2n-3)/(an-1-2(n-1)-3)即得结论;

  (Ⅱ)通过(I)裂项可知bnbn+1={1/(2n+3)-1/(2n+5)}/2,进而并项相加即得结论.

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